一、多维空间中一类带边值问题的二阶弱退化抛物方程（论文文献综述）
王恺鹏[1]（2021）在《偏微分方程大时间步长格式的研究及基于急诊数据的危重症预测的建模与评估》文中认为本文主要开展时间依赖偏微分方程的大时间步长的数值格式设计与研究;以及急诊医学数据的预测研究。在大时间步长格式研究方面,针对Vlasov-Poisson方程组和非线性抛物方程,我们分别设计了具有大时间步长的显式格式,并进行了分析研究。首先,我们设计了一类基于转秩直线法（MOLT）的新型混合埃尔米特本质加权无震荡（HWENO）格式用于近似一维线性传输方程和Vlasov-Poisson方程组。在MOLT的框架下,我们先进行隐式时间离散,得到离散时间层的边值问题,然后对此边值问题给出具有积分形式的显式解。在这里,我们在MOLT框架下构建HWENO方法,即同时更新方程的解和一阶空间导数,并用于近似积分。这个新提出的MOLT-HWENO方法主要有三个优点。第一,虽然该格式可以使用隐式时间离散的大时间步长,但是无需求解方程组。第二,HWENO格式的模版比具有相同精度的WENO格式更加紧凑。第三,该方法可以自适应的选取线性格式或者HWENO格式,即格式在间断解附件自动的选取HWENO方法以避免数值震荡,而在光滑解区域使用效率更高的线性格式。因此,MOLT-HWENO格式有更高的计算效率,同时,在光滑解附近又有较小的计算误差和计算量。此外,针对变系数非线性抛物方程,我们设计的一类高阶精度的基于核函数的显式无条件稳定格式。对此,我们设计的新型的基于核函数的表达式近似空间导数,然后结合显式龙格-库塔时间离散方法,近似非线性抛物方程。我们给出的理论分析表明,该方法通过选取合适的变量可以达到高阶精度和无条件稳定的性质。因此,对比具有相同精度的其他显式格式,该方法可以使用大时间步长,进而提高计算效率。另外,该方法扩大了变量的合理选取范围,所以在不增加计算量的基础上,可以减小计算误差、提高计算效率。在数据分析方面,本文基于中国科学技术大学第一附属医院急救中心的急诊医学数据,建立了较为规范、系统、便于进行数据分析的急诊医学数据库。我们在该数据库的基础上,用多元逻辑回归模型开展了预测研究,并对不同的模型进行了评估。结果表明,多元逻辑回归模型的AUC值的置信区间下界远大于0.5,即在统计意义下,模型是有实用价值的。同时,在模型的预测概率<60%时,预测概率与实际概率是一致的。
闫凤娜[2]（2020）在《非线性方程间断有限元方法的误差估计和保界格式》文中提出本论文主要研究有界区域中非线性偏微分方程的间断有限元方法。我们首先证明了 Allen-Cahn方程和Cahn-Hilliard方程局部间断有限元方法的能量稳定性和最优误差估计。其次,基于Karush-Kuhn-Tucker（KKT）限制器,我们通过拉格朗日乘子分别构造了反应欧拉方程和非线性退化抛物方程高阶保界的隐式时间离散的间断有限元和局部间断有限元格式。论文的第一部分,我们研究了 Allen-Cahn方程二阶和三阶半隐式谱延迟校正（SDC）时间离散的局部间断有限元格式的能量稳定性和最优误差估计。由于SDC方法是基于一阶凸分裂格式,因此时间离散方法对非线性项的隐式处理会导致每个时间层的方程组都是非线性的,增加了理论分析的难度。对于结合二阶和三阶SDC方法的局部间断有限元离散格式,我们利用有限维空间中的不动点定理证明了数值解的存在唯一性。同时半隐式SDC格式中所涉及的迭代和积分也增加了理论分析的难度。与不包括最左端点的龙格库塔型半隐式格式相比,这里的SDC格式将最左端点作为正交节点。这使得SDC格式测试函数的选取更加复杂,能量方程的构建更加困难。我们提供了两种不同的方法来克服非线性项带来的困难。通过仔细选择测试函数,在时间步长τ仅需要一个正的上限并且与网格大小h无关的意义下,我们得到了二阶和三阶数值格式的能量稳定性和最优误差估计。数值算例验证了我们理论结果的正确性。论文的第二部分,我们主要研究了具有浓度相关迁移率的Cahn-Hilliard方程的一个无条件稳定的局部间断有限元格式的误差分析。我们使用的时间离散是基于不变能量正交化（IEQ）方法,因此我们的全离散格式在每个时间步都是一个线性代数系统。这里误差估计的主要困难是在局部间断有限元格式中缺少对单元边界上某些跳跃项的控制。我们需要特殊处理Cahn-Hilliard方程的初始条件和非恒定迁移率项。对于初始条件的误差估计,我们用一个等价光滑的全局Lipschitz连续函数代替非线性项。这种技巧仅用于初值问题。对于非恒定迁移率项的分析,我们充分利用半隐式时间离散方法的优势,通过数学归纳法得到某些数值变量在L∞-范数下的有界性。我们得到了全离散格式的最优误差估计并给出了数值算例验证此结论。论文的第三部分,我们构造了反应欧拉方程高阶保界的隐式时间离散的间断有限元格式。在反应问题中,由于流体动力时间尺度与反应时间尺度存在较大差异,所以数值计算中的时间步长往往会受到很大的限制。此外,反应问题中的密度和压强都是非负的,质量分数应该在0到1之间。这里我们用分步法分别处理对流问题和反应问题。关于反应欧拉方程,我们主要有三个贡献。首先,我们采用高阶对角隐式龙格库塔（DIRK）方法进行时间离散。与显式时间离散方法相比,隐式方法大大增加了数值计算中具有刚性源项方程的时间步长。其次,在KKT系统的基础上,我们利用拉格朗日乘子将隐式时间离散的数值离散格式与保界约束条件相结合,从而保持数值解的上界0和下界1。最后,由于刚性源项,我们将Harten的子单元分辨技术（SR）推广到反应问题隐式时间离散的间断有限元方法中。数值结果表明,保界DIRK间断有限元格式对于光滑解是高阶精度的,对不连续刚性问题的数值模拟在相对粗的网格中是相当有效的。论文的第四部分,我们针对非线性退化抛物方程提出了一个熵耗散的高阶DIRK局部间断有限元格式。对于非线性抛物方程的一些问题,目前已证明当时间趋于无穷大时,瞬态解会收敛到稳定状态。我们利用简单的交替数值流通量,构造了具有高阶、熵耗散、保稳态和可捕捉长时间行为等优点的隐式DIRK局部间断有限元格式。隐式时间离散方法大大增加了数值格式稳定性所需的时间步长。这里较大的时间步长和简单的交替数值通量极大地简化了数值计算。我们从理论上证明了半离散格式的熵耗散性及一阶全离散格式的熵耗散性和稳态保持性。为了保证数值解的正定性和质量守恒性,我们采用了 KKT限制器,通过拉格朗日乘子将正定不等式约束和质量守恒等式约束与高阶DIRK局部间断有限元格式相耦合。数值结果表明,保正的DIRK局部间断有限元格式具有较高的精度且是高效的。
秦丹丹[3]（2020）在《求解一类四阶非线性抛物方程的数值解法》文中研究说明高阶非线性微分方程是一类重要的数学模型,可以刻画很多学科领域中的现象,由于其实用性强,一直备受关注.本文研究了一类具有不同实际背景的四阶非线性抛物方程的数值解法,主要用B样条有限元法对两种四阶项带有变系数的四阶非线性方程进行求解,又分析了其中一种方程的常系数情形的有限体积元法.对前者,四阶项带有变系数的模型的适用性更广,理论分析难度更大.我们对变系数进行一些处理解决所遇到的困难,而这些困难是四阶项系数为常数时所没有的.对后者,充分考虑到有限体积元法的特殊性,构造了相适应的有限体积元格式.首先,本文研究了四阶主项带有变系数的非线性抛物方程的三次B样条有限元法.此前,有研究者分析过该方程的常系数情形的Hermite三次有限元法,我们将四阶项的系数由常数拓展成变系数,使方程的适用范围扩大.三次B样条有限元格式的刚度矩阵的带宽为7,其阶数仅仅是Hermite三次有限元格式的一半.证明半离散解的有界性时,我们采用先积分后放缩的技巧处理四阶主项,解决了难点.借助有界性推导误差估计,L2模的收敛精度是三阶,H2半模达到二阶.关于时间变量的离散,选用了线性化的向后Euler格式,该格式的优点是可以降低非线性项的处理难度并提高数值计算的速度.利用有界性和Sobolev空间嵌入定理等,证明了L2模的收敛阶是O（?t+h3）（?t是时间步长,h是空间步长）,并用数值算例验证了理论结果.其次,我们讨论描述薄膜外延生长的高阶非线性微分方程的三次B样条有限元法.此前,有研究者分析过该模型的基于Hermite三次元的向后Euler格式,但四阶项系数是常数.我们不仅拓宽了模型的使用范围,还得到了更高的收敛精度.为证明半离散问题的解在H2半模下的有界性,我们引入了相适应的能量泛函.能量泛函与常系数情形不同,处理需要技巧.比如,我们分析了能量泛函与所建格式的关系,先对Eh（t）求导,再利用变系数的限制条件进行估计.我们证明了半离散格式的解按L2模是四阶收敛的,按H2半模是二阶收敛的.变系数的存在使格式的构造更加多样,我们选用了Crank-Nicolson格式,用（?）离散非线性项,变系数增加了H2半模有界性证明的难度.在有界性的基础上,推导了L2模和H2半模误差估计,其中H2半模误差分析是此类非线性抛物方程理论分析上的难点.数值实验结果说明格式是有效的.与向后Euler格式相比,基于B样条的Crank-Nicolson格式可以得到较高的时间收敛速度,按L2模达到O（（?t）2）,而且刚度矩阵是规模较小的稀疏矩阵.最后,我们考虑刻画晶体表面生长的非线性抛物方程的Hermite三次有限体积元法.关于该方程的数值方法涉及到差分法和有限元法.由于有限体积元法的特殊性,检验函数是分片线性函数,需要用到广义函数,本文对非线性项没有按照传统的Ritz-Galerkin法那样运用分部积分公式,而是直接进行内积运算.在此基础上,构造了线性化的向后Euler格式.数值算例结果显示,Hermite三次有限体积元格式解的H2半模收敛阶是O（?t+h2）.
李梦桐[4]（2020）在《具有可变指数型源的四阶抛物方程的渐近行为》文中研究指明长期以来偏微分方程的理论及其应用得到了快速发展.在自然科学和工程技术等领域出现许多需要深入研究的高阶偏微分方程.由于极值原理与比较原理对于高阶方程一般不成立,在探讨高阶偏微分方程时就需要使用新的数学工具与方法.然而来源于理论物理或其它一些实际问题中的高阶偏微分方程更多是非线性的,有的甚至是退化或奇异的,这些都使得高阶非线性偏微分方程的研究愈加复杂和困难,也更具有挑战性.因此,对这些描述、解释自然现象的高阶偏微分方程的研究吸引了越来越多国内外学者的广泛关注.本文考虑的是以下具有可变指数型源的四阶抛物方程其中Ω（?）Rn是边界光滑的有界区域,u0∈H02（Ω）且u0≠0.对于初始能量0<J（u0）<d以及J（u0）=d的情况,通过结合使用位势井方法以及Galerkin方法等,我们得出所研究问题的弱解的全局存在性以及有限时间爆破的结果.进一步地,我们对解的性质进行了详细的讨论,比如解的长时间渐近行为、解的上界估计以及爆破时间的上界等.另一方面,对于初始能量J（u0）>d的情况,我们深入地讨论了保证解全局存在或者有限时间爆破的条件.
解金鑫[5]（2020）在《基于优化方法重构二阶波动方程的势函数》文中研究表明由于现代生产生活的实际需要及各研究领域中的迫切要求,人们对偏微分方程反问题的探讨日益增多,已成为现代数学中的热门研究方向.本文主要研究了基于优化方法重构波动方程势函数的反问题,接着研究了在优化方法的基础上,利用全变差正则化方法重构退化抛物型方程初值的逆时问题.这一研究在图像处理、地球物理、医学研究、金融衍生品定价等领域中有重要应用.对重构波动方程势函数的反问题而言,该问题有两个主要困难:一、极值原理不再成立;二、终端观测值不仅包含位移,还包含了终端时刻的速度.值得注意的是,共轭方程中位移与速度的位置恰好相反,这一点与抛物情形是完全不同的.而对第二个问题,该数学模型的退化性导致边界条件的缺失,且其控制泛函带有1L罚项,具有不可微性.为了克服这一难点,文中采用具有较好边缘保持能力的全变差正则化方法,引入磨光全变差正则化惩罚函数项来处理,并运用数值实验验证了理论结果的正确性.本文主要基于优化方法,着重讨论最优控制问题解的存在性、唯一性和稳定性.本文主要由以下四个章节组成:第一章,该章节主要为绪论部分,说明了偏微分方程的研究背景、研究意义及国内外研究现状.主要对波动方程及退化抛物型方程的反问题展开说明,并阐述本文主要的研究内容.第二章,主要研究一类重构波动方程势函数的反问题.基于优化方法,利用终端观测数据进行反问题研究,且该数据不仅包含终端时刻的位移,还包括终端时刻的速度.文中将波动方程势函数的重构问题转为最优控制问题,从最优控制角度出发,建立控制泛函.最终证明了最优解的存在性、局部唯一性和稳定性.第三章,主要研究了一类重构退化扩散驱动下抛物型方程初值的逆时问题.基于优化方法,将重构退化抛物型方程初值的逆时问题转为最优控制问题进行研究.引入磨光全变差正则化惩罚函数项,利用全变差正则化方法重构初值.首先建立最优解的存在性,推导退化抛物型方程所需变分不等式的必要条件.其次证明局部解的唯一性和稳定性.最终进行正问题数值模拟,利用Gradient型迭代算法反演初值.第四章,该章节主要阐述的内容为总结与展望,对本文工作进行了简单小结和进一步展望.后续研究主要从三方面进行考虑:首先,本文对一维偏微分方程反问题进行研究,今后可以研究高维情形,并尽可能将其应用到实际生产生活领域当中.其次,可以寻找并采用更为有效、简便、先进的算法对其进行数值求解.最后,本文所考虑的工作均是线性偏微分方程,还可以考虑将更多具有实际应用意义的非线性偏微分方程的相关工作纳入后续研究当中.
程立正[6]（2020）在《几类随机偏微分方程的不确定性量化方法》文中认为随着科学技术的飞速发展,科学计算已经成为重要的研究工具.特别是对一些复杂的物理问题,其实验研究方法往往代价不菲且难以重复,数值模拟已经成为科学研究的重要手段.然而,现实世界中许多问题的数学模型中的一些参数存在很大的不确定性.为了更准确地计算带有不确定性的随机微分方程,需要设计高精度的数值方法并保证其收敛性.近年来,不确定性量化方法（UQ方法）越来越受到大家的重视,人们逐渐开始用UQ方法来求解各类随机微分方程.基于Askey正交多项式的随机配置方法（gPC-SC方法）与基于Askey正交多项式谱分解的随机Galerkin方法（gPC-SG方法）是UQ方法中的两种重要方法.前一种方法的主要思想是首先将方程随机空间中的随机变量取为Askey正交多项式的零点,将随机微分方程转化为零点处的多个确定性微分方程,然后求出多个确定性方组的解,再用拉格朗日插值法等获得随机微分方程的数值解.后者的主要思想是首先将随机微分方程的解在随机空间做基于Askey正交多项式的谱分解,然后在其子空间实施Galerkin投影,获得一组关于谱分解系数的方程组,通过求解方程组获得数值解.受此启发,本学位论文主要用上述两类方法计算带随机参数的麦克斯韦方程、非局部椭圆型方程和非线性抛物型方程三类带随机参数的随机微分方程.具体研究内容如下:对于带随机参数的随机麦克斯韦方程,本文的随机配置方法是通过物理时空采用中心差分格式、随机空间采用拉格朗日插值方法获得问题的数值解.而本文的随机Galerkin方法是通过物理时空采用Yee格式、随机空间采用基于Askey正交多项式的谱方法获得问题的数值解.本文首先证明了当初始条件满足&阶正则性条件时,方程的解也同样具有k阶正则性.在此基础上进一步给出了随机配置方法和随机Galerkin方法的收敛性分析,并用Hk情形和无穷光滑情形两类数值算例检验了理论的正确性.本文用随机配置方法研究带随机参数的非线性Burgers方程和Allen-Cahn方程这两类抛物型方程及非局部椭圆型方程时,物理空间采用谱方法,时间上采用Crank-Nicolson差分格式,随机空间采用拉格朗日插值来获得数值解.本文对其解进行了正则性分析,并对数值解进行了误差分析.用随机Galerkin方法研究带随机参数的非局部椭圆型方程时,本文采用双正交多项式技术进行数值求解,即:首先在随机空间做基于Askey正交多项式的谱分解,然后在其子空间实施Galerkin投影,从而将原方程转化为一组关于展开系数的确定性方程组,最后采用谱Galerkin方法对确定性方程组进行数值求解.本文对模型问题的解进行了正则性分析,并对数值解进行了误差分析.本文用Hk情形和无穷光滑情形两类数值算例验证了理论的正确性.
王宇彤[7]（2019）在《带非经典抛物项的非线性发展方程的解的适定性》文中认为本文研究了带有不同非经典抛物项的非线性发展方程的解的适定性,主要考虑两类分别含有不同的耗散机制的方程.第一类为拟抛物方程,如半线性拟抛物方程和广义BBM方程.对于半线性拟抛物方程,我们关注了解的适定性以及方程中出现的Fujita指标与初值的关系.对于广义BBM方程,在大初值的情形下,方程含有的热扩散项与非线性项的竞争机制是我们主要研究的问题和面对的困难,同时我们还关注了方程在非零常状态下大扰动解表现出来的双曲特性.第二类方程是各向异性退化抛物方程,我们分别考虑了带退化扩散项的广义BBM方程以及在流体和磁场中都在同一个方向上退化扩散的磁流体方程组.由于耗散机制的退化,在某些方向上无法看到粘性效果,这是我们面对的主要困难.我们将分别考虑这两类方程的Cauchy问题的解的适定性和衰减性态等.具体内容如下:第一章为绪论,我们介绍了在本文中大量用到的Green函数方法.接着介绍了本文中考虑的三类方程:半线性拟抛物方程,广义BBM方程和磁流体方程组的物理背景,研究历史和已有的工作,最后陈述了本文研究的问题和主要结果.第二章中,我们研究了多维空间中一类半线性拟抛物方程在小初值情况下解的整体存在性和逐点估计.首先利用频域分解的方法,得到了 Green函数的逐点估计,同时对在方程变形中出现的非局部化算子进行了处理.接着,采用[76]中提出的整体迭代法,不需要证明局部解的存在性,而是利用解的衰减性质直接得到了整体经典解的存在唯一性和衰减估计.在这个基础上,我们又利用Green函数得到了解的逐点估计,并给出了方程解存在的Fujita指标的范围.最后,我们考虑初值所在空间与Fujita指标的关系,通过定义初值在某些负指数Sobolev空间,扩大了 Fujita指标的范围,即扩大了解存在的范围并对应有更好的衰减.就作者所知,目前已有很多文献中提到过负指数空间会对解的衰减产生影响,但尚无结果提到负指数空间对解的范围产生的影响.第三章中,我们考虑了广义BBM方程在三维空间中的Cauchy问题在非零常状态附近大扰动解的整体存在性,衰减估计以及逐点估计.我们主要面临的困难有:首先,大扰动失去了小性,使得我们不再能够利用先验估计等假设;其次,方程带有非局部化算子,使得我们没有像带粘性的Burgers方程一样的最大模原理;同时我们还有非线性项无法被控制的困难.本章分为三个部分,第一部分中,通过构造Cauchy收敛列的方法得到了解的局部存在性.接着,利用经典的Fourier方法,得到解的Green函数的逐点估计,并对方程做了变换,利用新的方程解的L2有界来导出原方程的解的H2有界,从而通过Sobolev嵌入定理得到解的L∞有界性.利用这一有界性,可以提高解本身的正则性,再结合局部解的存在性从而得到解的整体存在性.第二部分,考虑了解的衰减估计,此时,用通常的长短波分解的方法已不再可行,为此,我们利用了新的方法,利用与时间相关的时频分解,将解分成两部分后分别用Green函数和精细能量估计进行处理,得到了解的Hs衰减估计.第三部分考虑了方程大扰动解的逐点估计,在缺少了小扰动的小性的情况下,我们充分利用了已经得到的解的L∞有界和衰减,利用时间的衰减作为小性的替代,克服了这一困难.从以上逐点估计中可以更清晰地看到解的大时间行为,我们发现方程的解在具有抛物方程性态的同时,还表现出了双曲的特性.在零状态下的扰动看不到这种双曲性态,而非零常状态情况下的扰动可以让我们看到,方程的解在扩散的同时,其主体又将沿着某一条与非零常状态相关的直线移动,并且在沿着这条直线的方向上衰减速度最慢.在第四章中,我们研究了带有退化扩散项的广义BBM方程在小扰动情况下解的整体存在性和衰减性态.我们面临的主要困难在于扩散项的退化导致在某一个方向上没有粘性效应,也不再满足Shizuta-Kawashima条件,因而通常抛物方程的研究方法在这里并不适用.为此,我们充分借助了其他方向上的粘性效果转化为阻尼作用,证明了方程解的整体存在性及衰减.本章首先通过迭代的方法得到了局部存在性.接着在进行局部解延拓时,先得到了解的Green函数估计,再利用先验假设和能量估计的方法,将非线性部分分成两个方向进行处理,在有粘性效应的切向上利用粘性项控制,在退化的法向上则利用分部积分等,得到了解在Hs空间中的有界性.最后,在研究解的衰减情况时,采用了高低频分解的办法,切向低频的部分利用Duhamel原理以及各向异性空间的不等式技巧,切向高频部分则利用Poincaré-like不等式及能量估计,从而得到了小扰动解的整体存在性和衰减估计.第五章中,我们研究了带有退化扩散项的磁流体力学方程组（MHD方程组）在小扰动情况下Cauchy问题的解的整体存在性和大时间行为.此时除了扩散项的退化带来的困难之外,方程组相较于方程的复杂性也使得难度有进一步的增加.为此,首先我们利用Duhamel原理,证明通过方程构造的映射为压缩映射,利用不动点原理得到了解的局部存在性.接着,为了证明解的存在性,我们主要分为三个步骤进行考虑.首先,在先验假设的前提下,借助能量估计的手段,并利用方程的对称性,使得流体方程和磁场方程在处理之后相加可以部分抵消,从而先得到了解的Hs有界性.接着在进行解的衰减估计时,利用频域分解的办法,在低频部分利用Green函数的办法,并借助大量各向异性空间的不等式技巧进行处理,在高频部分时则仍旧利用Poincaré-like不等式及能量估计得到了解的Hs衰减性态.最后通过类似的方法得到了解的L∞衰减估计.这样便封闭了先验估计,再利用经典的连续性方法便可以将局部解延拓至整体,从而得到解的整体存在性和大时间的衰减行为.
王娇娇[8]（2019）在《一类高阶方程解的整体存在和爆破》文中研究说明本文研究了一类高阶方程的解的性质,包括弱解的存在唯一性,解的爆破,熄灭及非熄灭性质.本文的内容共有五章.在第一章中,我们简要介绍了本文研究的所有问题及结论.在第二章中,我们研究了等温快速相分离过程中出现的具有惯性项的粘性Cahn-Hilliard方程的初边值问题,由Galerkin方法和紧性定理,得到了广义解的整体存在性.为了得到解的爆破性,我们建立了一个新的泛函并考虑Bernoulli型方程的解.在一些估计的基础上,利用二阶常微分不等式的一个引理,得到了初边值问题解的爆破性.在第三章中,我们研究了三元油-水-表面活性剂体系相变动力学中出现的含惯性项的粘性Cahn-Hilliard型方程在一维空间中的初边值问题,得到由该问题生成的动力系统在相空间H3（Ω）× L2（Ω）中存在一个整体吸引子.在第四章中,我们在有界区域内考虑一类具对数的p-双调和非线性抛物方程的初边值问题,得到了相对完善的三个结论:当2<p<q<p（1+4/n）及u0∈W+时,我们得到了弱解的整体存在性;当2<p<q<p（1+4/n）及u0∈W-时,我们得到了弱解在有限时间内爆破;当max{1,2n/n+4}<p≤2时,我们分别得到了弱解的爆破,熄灭及非熄灭结果.在第五章中,我们考虑了六阶退化对流Cahn-Hilliard方程的Cauchy问题,并研究解的存在性.为了证明古典解的存在性,主要困难是由方程在x1方向退化和非线性项△x’2A（u）造成的.我们所用的方法是长短波法和频率分解法.为了估计低频部分,我们使用Green函数法;而对于高频部分,我们使用能量估计和Poincare-like不等式.使用标准的连续性方法,我们首先建立局部解的存在性,然后基于解的一致估计得到整体解的存在性.
邹敏[9]（2019）在《几类偏微分方程振动性质及一维浅水波方程的Entropy-TVD格式》文中研究表明在当代,微分方程无处不在,各个科学领域的研究都围绕着微分方程模型.为了与实际相符,模型形式日趋复杂,比如地震波波动模型.只有经典的原始的微分方程才可以求得解析解,对于大部分地震波波动模型目前只能简化以后进行数值模拟.随着研究的深入,对于更复杂的地震波传播模型,在数值模拟不易进行时,考虑研究解的定性理论,也就是不求解直接研究解的分布和性态,从而探讨地震波的传播特征.方程解的振动性是微分方程定性理论的重要分支.本文的研究内容分为两个部分,第一部分是在常微分方程解的振动性的基础上讨论了中立型时滞脉冲偏微分方程和方程组、分数阶脉冲偏微分方程和分数阶脉冲时滞偏微分方程组解的振动性.在振动性的讨论中,利用平均值方法将偏微分方程转化为常微分方程或者不等式,从而得到偏微分方程解的振动性,并尝试将振动性的研究运用于各向同性声波方程.在分数阶偏微分方程振动性的讨论中,分别利用变量代换以及分数阶导数定义与Γ函数的关系两种不同的方法将分数阶转化为整数阶.第二部分,将Entropy-TVD格式推广至一维浅水波方程,并利用三个数值实例验证了Entropy-TVD格式的有效性,并将这个格式与标准的Godunov格式在分辨率、数值精度阶数和计算成本等方面进行了比较.论文取得的主要成果和结论如下:（1）本文研究了两类时滞脉冲偏微分方程及方程组的振动性.利用平均值法、格林公式和边界条件将所要研究的非线性脉冲时滞双曲方程边值问题解的振动性转化成二阶脉冲微分不等式解的振动问题,接着利用Riccati变换将这个二阶脉冲微分不等式降为一阶,利用辅助函数得到所求边值问题解振动的充分条件.在研究一类中立型脉冲时滞抛物系统在两类边界条件下解的振动性时,首先利用平均值法、格林公式、边界条件以及垂直相加法将脉冲时滞偏微分方程组转化为脉冲时滞常微分不等式组.接着利用变量代换来处理脉冲项,将复杂的分段连续情形转化为连续的状态来考虑,将所研究的问题转化为普通一阶常微分不等式解的振动问题.这样的处理可以极大限度地让已有的大量的一阶常微分方程或者不等式解的振动理论得到推广应用,使得研究空间更为广泛.尝试将微分方程振动理论运用于各向同性声波方程中,并得到结论.（2）基于分数阶微分方程在反常扩散、多孔介质力学、非牛顿流体力学等学科中的广泛应用,本文讨论了一类分数阶脉冲偏微分方程和一类分数阶脉冲时滞偏微分系统解的振动性.基于分数阶导数给研究带来的困难,本文采用两种不同的方法将分数阶偏导数转化为整数阶导数,这样就可以利用已有的整数阶微分方程解的振动理论处理分数阶微分方程解的振动性.本文采用的第一种方法是直接利用Γ函数进行变量代换,第二种方法是利用Modified Riemann-Liouville分数阶导数与Γ函数之间的关系.对于转化之后的微分方程,综合应用Riccati变换和微分不等式,得到了这两类分数阶脉冲偏微分方程在不同边界条件下解的振动准则.（3）本文将Entropy-TVD格式推广至一维浅水波方程.首先详细描述了Entropy-TVD格式,介绍了这个格式的一些性质然后运用于一维浅水波方程.给出了三个数值实例,表明了Entropy-TVD格式的有效性,并研究了Entropy-TVD格式的数值精度阶数和计算成本.Entropy-TVD格式比标准Godunov格式减少了数值耗散,具有更好的分辨率.为了提高线性特征场和非线性特征场的精确度,本文还建立了两个HS重构并将深度和速度作为两片常函数.Entropy-TVD格式包含四个数值实体,即数值熵、数值速度、深度和流量.文中验证了这个格式保留了深度和流量守恒,而且满足熵条件.本论文的创新之处主要表现在以下三个方面:（1）在对偏微分方程解的振动性的讨论中,利用Green公式的推导更好地处理了非线性项,有助于处理非线性地震波波动方程.利用Riccati变换对所研究的二阶常微分方程组进行降阶,使研究更为简便.利用变量代换将分段连续函数转化为连续函数,更有效地处理了脉冲项.这样可以处理更多的存在多种突发扰动的系统.将振动理论运用于声波方程,为研究复杂介质中或者更复杂的比如带有脉冲和时滞的波动模型提供理论基础.（2）在对分数阶微分方程的讨论中,其中分数阶导数的定义采用Modified Riemann-Liouville分数阶导数,修正了原先推导中的漏洞.目前,在对分数阶微分方程解的振动性的讨论中分数阶偏微分方程并不多见,带脉冲时滞的方程少之又少,基本上没有对偏微分方程组进行讨论.本文利用整数阶变量代换的方法处理了所讨论方程中的脉冲项,并利用垂直相加法得到了分数阶脉冲时滞偏微分方程组解的振动性.（3）本文将一阶精确Entropy-TVD格式推广到了一维浅水波方程,为了提高线性特征场和非线性特征场的精确度,建立了两个HS重构并把深度和速度作为两片常函数.这个格式包含四个数值实体,即数值熵、数值速度、深度和流量.Entropy-TVD格式比标准Godunov格式减少了数值耗散,具有更好的分辨率.（4）本文将熵格式推广到地下水溶质运移方程,首先采用分裂方法将地下水溶质运移方程分成对流方程和弥散方程,对流方程是一个双曲型方程,利用熵格式求解,弥散方程的空间离散用二阶中心格式离散时间离散用简单的向前差分.通过数值试验,对不同对流强度的地下水溶质运移方程进行了数值计算,计算结果表明熵格式没有出现过量问题,没有出现非物理振荡,数值弥散小,特别适合强对流问题的数值计算.
李文彦[10]（2019）在《奇摄动热弹耦合模型分析》文中提出激光激发的热弹性耦合模型在工程上有重要意义,研究热弹性耦合模型首先需要确定温度场分布,由于激光激发的时间短（一般为飞秒级）,传统Fourier热传导定律不再适合。因此应用非Fourier热传导定律建立温度场的分布就很有必要。前人对温度场模型的研究多是采用数值分析与计算机模拟来讨论其数值解,很少能够直接求解模型的解析解。迄今为止,应用奇摄动分析方法来求解温度场模型的渐近解和确定热传导系数发生跳跃的位置的相关报道比较少。首先通过应用非Fourier热传导定律构建了单层材料中温度场模型,即一类在无界域上带小参数的奇摄动双曲方程,应用奇摄动方法得到该问题的展开式,通过对内解和外解的最大模估计和关于时间导数的最大模估计,得到了内外解的存在唯一性,从而得到了解的形式渐近展开式。通过余项估计,得到了渐近解的一致有效性,从而得到了无界域上温度场的分布。其次考虑由于温度急剧变化热传导系数出现跳跃的一维温度场的情况,得到了非线性的具有间断系数的奇摄动双曲方程。应用奇摄动方法得到该问题的展开式,通过对内解和外解的最大模估计和关于时间导数的最大模估计,得到了内外解的存在唯一性,确定了热传导系数跳跃的位置关系。并用缝接法将热传导系数发生跳跃的位置两边的解缝接起来,从而得到了解的形式渐近展开式。其次通过余项估计,得到了渐近解的一致有效性。将一维问题扩展到三维,讨论热传导系数发生跳跃的温度场模型,得到了一类非线性的具有间断系数的奇摄动双曲方程,应用奇摄动双参数展开法得到该问题的展开式,并且通过给出最大模估计得到了内外解的存在唯一性,进而通过Fourier变换确定了热传导系数跳跃的位置关系,并用缝接法将热传导系数发生跳跃的位置两边的解缝接起来,从而得到了解的形式渐近展开式。其次通过余项估计,得到了渐近解的一致有效性,从而得到了完整温度场的分布。通过奇摄动分析,给出了非Fourier温度场与Fourier温度场的关系,描述了非Fourier温度场的具体性态。主要内容如下:1、非Fourier温度场分布的奇摄动解。通过应用非Fourier热传导定律构建了单层材料中温度场模型,即一类在无界域上带小参数的奇摄动双曲抛物方程,克服了用Fourier热传导定律描述问题存在的缺陷。首先,应用奇摄动方法,对该类奇摄动双曲方程进行了渐近展开,得到了该问题的内解和外解,构造了相应的形式渐近解。通过对解做出估计以及古典解的存在唯一性定理给出了内解和外解的存在性、唯一性。其次,由奇摄动理论,对该类奇摄动双曲方程进行了初始层矫正,得到了解关于时间的导数的估计。并且得到了余项估计,得到了渐近解的一致有效性,从而得到了在无界域上温度场的分布。此外,给出了非Fourier温度场分布与Fourier温度场分布的联系与差异,描述了非Fourier温度场的具体性态。2、一类热传导系数跳跃的非Fourier温度场分布的奇摄动双参数解。应用非Fourier热传导定律构建了温度场模型,即一类在有界域上带小参数的奇摄动双曲方程,由于温度急剧变化热传导系数出现跳跃的情况,得到了非线性的具有间断系数的奇摄动双参数双曲方程。通过奇摄动双参数展开方法,得到了该问题的渐近解。其次应用分离变量法确定了热传导系数跳跃的位置表达式,并用缝接法将热传导系数发生跳跃的位置两边的解缝接起来,从而得到了解的形式渐近展开式。其次通过余项估计,得到了渐近解的一致有效性,从而得到了完整温度场的分布。3、三维热传导系数跳跃的非Fourier温度场分布的奇摄动解。应用非Fourier热传导定律构建了温度场模型,即一类在无界域上带小参数的奇摄动双曲方程,由于温度急剧变化热传导系数出现跳跃的情况,得到了非线性的具有间断系数的奇摄动双参数双曲方程。通过奇摄动双参数展开方法,得到了该问题的渐近解,首先应用奇摄动方法得到该问题的展开式,通过对解做出估计以及古典解的存在唯一性定理给出了内解和外解的存在性、唯一性。其次,由奇摄动理论,对该类奇摄动双曲方程进行了初始层矫正,得到了解关于时间的导数的估计。并且通过用Fourier变换确定了热传导系数跳跃的位置表达式,用缝接法将热传导系数发生跳跃的位置两边的解缝接起来,从而得到了解的形式渐近展开式。最后通过余项估计,得到了渐近解的一致有效性,从而得到了热传导系数间断的温度场的分布。4、温度场与应力场耦合时弹性体的振动问题。采用非Fourier温度场和一类方程的联立来构造热弹耦合模型,由于温度场的温度急剧变化导致热传导系数出现跳跃,热弹耦合模型也会出现跳跃,根据奇摄动理论,得到了问题的渐近解。其次采用行波法分别求解了在t=0（初始层）和t=t*（跳跃层）的间断声场的瞬态位移,研究了初始层和跳跃层的渐近解的相关性质,得到了在t=0处,热应力场出现了边界层,呈现指数衰减形式,再考虑t*<t<T,y<φ（s）和t*<t<T,y>φ（s）两种情形,得到了由于温度场的热传导系数的不同,热应力场的解也不同,我们采用双参数展开法,左端用ε进行渐近展开,右端用εμ进行渐近展开,得到了较精确的高阶近似解。5、将一维热弹耦合推广到了三维热弹耦合中,且是在无界域上进行的,根据奇摄动分析方法,在热传导系数跳跃的两侧分别进行奇摄动渐近展开,得到形式渐近解。通过Fourier变换求解出了间断的声场的瞬态位移,研究了初始层和跳跃层的渐近解的相关性质,采用双参数展开法,左端用ε渐近展开,右端用εμ渐近展开,得到了较精确的高阶近似解。在研究过程中,我们综合应用了常微分方程,偏微分方程,数学与物理方程,非线性声学,数学分析,奇摄动理论等多个方面的知识,不仅丰富了非Fourier温度场模型的研究,还深入了热弹耦合模型的探讨。
二、多维空间中一类带边值问题的二阶弱退化抛物方程（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、多维空间中一类带边值问题的二阶弱退化抛物方程（论文提纲范文）
（1）偏微分方程大时间步长格式的研究及基于急诊数据的危重症预测的建模与评估（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 偏微分方程的大时间步长格式 |
| 1.2 基于急诊医学数据的危重症预测的建模与评估 |
| 1.3 本文结构 |
| 第2章 一类基于混合HWENO的MOL~T法用于Vlasov模拟 |
| 2.1 背景 |
| 2.2 MOL~T框架 |
| 2.3 HWENO方法 |
| 2.4 二维问题 |
| 2.5 数值实验 |
| 2.5.1 刚体转动问题 |
| 2.5.2 VP方程组 |
| 2.6 本章总结 |
| 第3章 基于核函数的无条件稳定算法求解非线性抛物偏微分方程 |
| 3.1 背景 |
| 3.2 微分算子近似回顾与分析 |
| 3.2.1 一阶空间导数 |
| 3.2.2 二阶空间导数 |
| 3.2.3 一维非线性抛物方程 |
| 3.3 新型微分算子的构造与分析 |
| 3.3.1 新型算子的构造 |
| 3.3.2 稳定性分析 |
| 3.3.3 空间离散 |
| 3.4 二维问题 |
| 3.5 数值实验 |
| 3.6 本章总结 |
| 第4章 基于急诊数据的危重症预测的建模与评估 |
| 4.1 分析方法 |
| 4.1.1 关联性分析方法 |
| 4.1.2 逻辑回归模型 |
| 4.1.3 模型评估方法 |
| 4.2 基于急诊医学数据的危重症预测 |
| 4.2.1 数据库 |
| 4.2.2 变量分析与筛选 |
| 4.2.3 预测模型的构建 |
| 4.3 模型评估 |
| 4.3.1 ROC分析 |
| 4.3.2 预测概率的评估 |
| 4.4 本章总结 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在读期间发表的学术论文与取得的研究成果 |
（2）非线性方程间断有限元方法的误差估计和保界格式（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 简介 |
| 1.1 间断有限元方法 |
| 1.2 KKT限制器 |
| 1.3 本文工作 |
| 第2章 预备知识 |
| 2.1 常用记号和内积空间 |
| 2.2 有限元空间 |
| 2.3 投影及其相关性质 |
| 2.4 时间离散方法 |
| 2.4.1 谱延迟修正方法 |
| 2.4.2 对角隐式龙格库塔方法 |
| 2.5 半光滑牛顿方法 |
| 第3章 Allen-Cahn方程高阶隐式时间离散的局部间断有限元方法的稳定性及误差分析 |
| 3.1 研究背景 |
| 3.2 二阶SDC-LDG格式 |
| 3.2.1 全离散数值格式 |
| 3.2.2 解的存在唯一性 |
| 3.2.3 稳定性 |
| 3.2.4 误差分析 |
| 3.3 三阶SDC-LDG格式 |
| 3.3.1 全离散数值格式 |
| 3.3.2 解的存在唯一性 |
| 3.3.3 稳定性 |
| 3.3.4 误差分析 |
| 3.4 数值结果 |
| 3.4.1 精度测试 |
| 3.4.2 格式稳定性需要的时间步长与ε满足的关系 |
| 3.5 本章总结 |
| 第4章 Cahn-Hilliard方程无条件稳定的局部间断有限元方法的误差分析 |
| 4.1 研究背景 |
| 4.2 全离散LDG格式 |
| 4.2.1 线性化的间断有限元格式 |
| 4.2.2 无条件能量稳定性 |
| 4.3 初始条件的误差估计 |
| 4.4 主要结果 |
| 4.4.1 误差估计 |
| 4.4.2 误差方程 |
| 4.4.3 辅助结果 |
| 4.4.4 定理4.4的证明 |
| 4.5 数值结果 |
| 4.6 本章小节 |
| 第5章 反应欧拉方程高精度保界隐式时间离散格式 |
| 5.1 研究背景 |
| 5.2 隐式时间离散的DG方法 |
| 5.2.1 分步法 |
| 5.2.2 半离散DG格式 |
| 5.2.3 全离散DIRK-DG格式 |
| 5.3 保界DG离散格式 |
| 5.3.1 具有保界约束条件的DG格式 |
| 5.3.2 齐次方程的限制条件 |
| 5.3.3 反应方程使用Harten's SR技术的高阶隐式格式 |
| 5.4 求解半光滑KKT方程的牛顿方法 |
| 5.5 刚性多物种爆炸问题的算法 |
| 5.6 数值算例 |
| 5.6.1 欧拉方程 |
| 5.6.2 反应欧拉方程 |
| 5.7 本章小结 |
| 第6章 非线性退化抛物方程的熵耗散高阶隐式时间离散格式 |
| 6.1 研究背景 |
| 6.2 半离散LDG格式 |
| 6.2.1 空间上的LDG离散 |
| 6.2.2 熵耗散性 |
| 6.3 隐式时间离散的LDG格式 |
| 6.3.1 向后欧拉LDG格式 |
| 6.3.2 稳定状态的保持 |
| 6.3.3 高阶DIRK-LDG离散格式 |
| 6.4 高阶保正的DIRK-LDG格式 |
| 6.5 数值算例 |
| 6.5.1 精度测试 |
| 6.5.2 双势阱非线性扩散方程 |
| 6.5.3 多孔介质方程 |
| 6.5.4 费米子气体的非线性Fokker-Plank方程 |
| 6.5.5 玻色子气体的非线性Fokker-Plank方程 |
| 6.6 本章小节 |
| 第7章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在读期间发表的学术论文与取得的研究成果 |
（3）求解一类四阶非线性抛物方程的数值解法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 高阶非线性抛物方程的背景介绍 |
| 1.1.1 描述晶体表面生长的高阶非线性微分方程 |
| 1.1.2 描述薄膜外延生长的四阶非线性抛物方程 |
| 1.2 B样条函数简介 |
| 1.3 数值方法简介 |
| 1.3.1 有限元方法 |
| 1.3.2 有限体积元法 |
| 1.4 预备知识 |
| 1.5 本文的主要工作 |
| 第二章 描述晶体表面生长模型的B样条有限元法 |
| 2.1 半离散格式 |
| 2.2 全离散格式 |
| 2.3数值实验 |
| 第三章 描述薄膜外延生长模型的B样条有限元法 |
| 3.1 半离散格式 |
| 3.2 全离散格式 |
| 3.3数值实验 |
| 第四章 描述晶体表面生长模型的有限体积元法 |
| 4.1 有限体积元法 |
| 4.2数值实验 |
| 第五章 总结 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间完成的学术论文 |
| 致谢 |
（4）具有可变指数型源的四阶抛物方程的渐近行为（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 概述 |
| 1.2 相关的研究进展 |
| 1.3 本文内容介绍 |
| 2 预备知识 |
| 2.1 基本定理与不等式 |
| 2.2 定义与重要引理 |
| 3 主要结果及证明 |
| 3.2 J(u_0)=d的情况 |
| d的情况'>3.3 J(u_0)>d的情况 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间发表学术论文情况 |
| 致谢 |
（5）基于优化方法重构二阶波动方程的势函数（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 偏微分方程反问题的研究背景 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.3 本文的主要工作 |
| 2 一类确定波动方程势函数的反问题 |
| 2.1 问题简述 |
| 2.2 最优控制问题 |
| 2.3 必要条件 |
| 2.4 局部唯一性和稳定性 |
| 2.5 本章小结 |
| 3 数值重构退化抛物型方程初值的逆时问题 |
| 3.1 问题简述 |
| 3.2 最优控制问题 |
| 3.3 必要条件 |
| 3.4 唯一性与稳定性 |
| 3.5 数值算法与实验 |
| 3.5.1 建立差分格式 |
| 3.5.2 Gradient迭代算法 |
| 3.5.3 数值实验 |
| 3.6 本章小结 |
| 4 总结与展望 |
| 4.1 主要的研究结论 |
| 4.2 进一步研究展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间的研究成果 |
（6）几类随机偏微分方程的不确定性量化方法（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 不确定性量化方法简介 |
| 1.1.1 例子说明 |
| 1.1.2 UQ数值计算方法 |
| 1.2 本文的主要工作与结构 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 Askey正交多项式体系 |
| 2.1.1 正交多项式体系 |
| 2.1.2 Askey正交多项式体系 |
| 2.1.3 Askey混沌多项式的谱分解 |
| 2.1.4 Karhunen-Loève分解技术 |
| 2.2 基于Askeyh混沌多项式的UQ方法 |
| 2.2.1 gPC-SG方法 |
| 2.2.2 gPC-SC方法 |
| 第三章 带随机参数的麦克斯韦方程的gPC-SC方法 |
| 3.1 模型问题 |
| 3.2 正则性分析 |
| 3.3 收敛性分析 |
| 3.4 数值算例 |
| 3.4.1 H~k正则性的数值例子 |
| 3.4.2 解析情形的数值例子 |
| 第四章 带随机参数的麦克斯韦方程的gPC-SG方法 |
| 4.1 模型问题 |
| 4.2 gPC-SG方法 |
| 4.3 收敛性分析 |
| 4.4 数值结果 |
| 4.4.1 H~k正则性的数值算例 |
| 4.4.2 无穷光滑情形的数值算例 |
| 第五章 随机椭圆型方程非局部边值问题的随机配置方法与随机Galerkin方法 |
| 5.1 随机椭圆型方程非局部边值问题的随机配置方法 |
| 5.1.1 模型问题 |
| 5.1.2 随机配置方法 |
| 5.1.3 正则性分析 |
| 5.1.4 收敛性分析 |
| 5.2 随机椭圆型方程非局部边值问题的随机Garlerkin方法 |
| 5.2.1 模型问题的gPC-SG方法 |
| 5.2.2 收敛性分析 |
| 5.3 数值算例 |
| 5.3.1 H~k正则性的数值算例 |
| 5.3.2 无穷光滑情形的数值算例 |
| 第六章 带随机参数的抛物型方程的UQ方法 |
| 6.1 Allen-Cahn方程模型问题 |
| 6.2 正则性分析 |
| 6.3 收敛性分析 |
| 6.4 Burgers方程模型问题 |
| 6.5 正则性分析 |
| 6.6 收敛性分析 |
| 6.7 数值算例 |
| 6.7.1 Burgers方程的数值算例 |
| 6.7.2 Allen-Cahn方程的数值算例 |
| 第七章 总结和未来工作展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间完成的论文 |
（7）带非经典抛物项的非线性发展方程的解的适定性（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| §1.1 历史背景及研究现状 |
| §1.1.1 Green函数 |
| §1.1.2 半线性拟抛物方程 |
| §1.1.3 广义BBM方程 |
| §1.1.4 磁流体方程(MHD方程) |
| §1.2 本文结构及主要结论 |
| §1.3 记号约定和预备引理 |
| 第二章 半线性拟抛物方程整体解的存在性和大时间行为 |
| §2.1 问题和主要结果 |
| §2.2 Green函数的逐点估计 |
| §2.3 经典解的存在性 |
| §2.4 非线性问题解的逐点估计 |
| §2.5 方程初值与Fujita指标的关系 |
| 第三章 广义BBM方程Cauchy问题大扰动解大时间行为 |
| §3.1 问题和主要结果 |
| §3.2 解的整体存在性 |
| §3.2.1 解的局部存在性 |
| §3.2.2 Green函数的逐点估计及L~p衰减估计 |
| §3.2.3 解的L~p有界性估计和整体存在性 |
| §3.3 解在H~s空间中的衰减估计 |
| §3.3.1 低频部分的H~s衰减估计 |
| §3.3.2 高频部分H~s衰减估计 |
| §3.4 大扰动解的逐点估计 |
| §3.4.1 初值部分的估计 |
| §3.4.2 非线性部分的估计 |
| 第四章 带退化扩散项的广义BBM方程Cauchy问题解的大时间行为 |
| §4.1 问题和主要结果 |
| §4.2 经典解的局部存在性 |
| §4.3 经典解的整体存在性及衰减估计 |
| §4.3.1 解的有界性估计 |
| §4.3.2 解的H~s衰减估计 |
| §4.3.3 解的L~∞衰减估计 |
| 第五章 带退化扩散项的MHD方程组Cauchy问题解的大时间行为 |
| §5.1 问题和主要结果 |
| §5.2 经典解的局部存在性 |
| §5.3 经典解的整体存在性和衰减估计 |
| §5.3.1 解的有界估计 |
| §5.3.2 解的H~s衰减估计 |
| §5.3.3 解的L~∞衰减估计 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位论文期间发表或录用的学术论文目录 |
（8）一类高阶方程解的整体存在和爆破（论文提纲范文）
| 提要 |
| 详细摘要 |
| 英文摘要 |
| 第一章 绪论 |
| 第二章 具有惯性项的等温粘性Cahn-Hilliard方程的解的一些性质 |
| §2.1 引言 |
| §2.2 整体解的存在性 |
| §2.3 解的爆破 |
| §2.4 能量衰减估计 |
| 第三章 具有惯性项的六阶Cahn-Hilliard方程的解的一些性质 |
| §3.1 引言 |
| §3.2 半流及先验估计 |
| 3.2.1 先验估计 |
| 3.2.2 吸收集 |
| 3.2.3 适定性及压缩估计 |
| §3.3 整体吸引子 |
| 第四章 一类具对数的p-双调和非线性抛物方程的解的性质 |
| §4.1 引言 |
| §4.2 能量泛函J和Nehari泛函I的一些性质 |
| §4.3 弱解的存在性 |
| §4.4 弱解的一些性质 |
| 第五章 六阶退化对流Cahn-Hilliard方程的Cauchy问题 |
| §5.1 引言 |
| §5.2 一些引理 |
| §5.3 解的局部存在性 |
| §5.4 解的整体存在性 |
| 参考文献 |
| 作者简介及科研成果 |
| 致谢 |
（9）几类偏微分方程振动性质及一维浅水波方程的Entropy-TVD格式（论文提纲范文）
| 作者简历 |
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 选题的目的和意义 |
| 1.2 国内外研究现状、发展趋势及存在问题 |
| 1.2.1 地震波波动模型研究现状 |
| 1.2.2 振动理论研究现状 |
| 1.2.3 分数阶微分方程研究现状 |
| 1.2.4 浅水波模型的研究现状 |
| 1.2.5 双曲守恒律方程数值模拟的研究现状 |
| 1.2.6 对流—弥散方程数值模拟的研究现状 |
| 1.2.7 存在问题与发展趋势 |
| 1.3 主要研究内容和研究工作 |
| 1.4 论文主要成果及创新点 |
| 1.5 论文组织结构 |
| 第二章 几类偏微分方程的振动性 |
| 2.1 里卡蒂方法研究带泛函参数的非线性脉冲时滞双曲方程的振动性 |
| 2.1.1 第一类边界条件下方程解的振动性 |
| 2.1.2 第三类边界条件下方程解的振动性 |
| 2.1.3 应用举例 |
| 2.2 中立型脉冲时滞抛物系统解的振动性 |
| 2.2.1 第三类边界条件下系统解的振动性 |
| 2.2.2 第一类边界条件下系统解的振动性 |
| 2.2.3 应用举例 |
| 2.3 声波方程解的振动性 |
| 2.4 小结 |
| 第三章 分数阶脉冲偏微分方程及脉冲时滞偏微分系统解的振动性 |
| 3.1 分数阶积分与分数阶导数 |
| 3.1.1 Riemann-Liouville分数阶积分与分数阶导数 |
| 3.1.2 Caputo型分数阶导数 |
| 3.2 分数阶脉冲偏微分方程的振动性 |
| 3.2.1 第三类边界条件下方程解的振动性 |
| 3.2.2 第一类边界条件下方程解的振动性 |
| 3.3 分数阶脉冲时滞偏微分系统解的振动性 |
| 3.3.1 第三类边界条件下系统解的振动性 |
| 3.3.2 第一类边界条件下系统解的振动性 |
| 3.3.3 应用举例 |
| 3.4 小结 |
| 第四章 一维浅水波方程的Entropy-TVD格式 |
| 4.1 浅水波方程的Entropy-TVD格式 |
| 4.1.1 Entropy-TVD格式的描述 |
| 4.1.2 HS的计算应用举例 |
| 4.2 Entropy-TVD格式的性质 |
| 4.3 数值算例 |
| 4.4 小结 |
| 第五章 利用熵格式计算地下水溶质运移方程 |
| 5.1 熵格式的描述 |
| 5.2 数值试验和结果分析 |
| 5.3 小结 |
| 第六章 结论与建议 |
| 6.1 结论 |
| 6.2 建议 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
（10）奇摄动热弹耦合模型分析（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 1 绪论 |
| 1.1 研究背景与意义 |
| 1.2 非Fourier温度场模型的研究现状 |
| 1.3 热弹耦合模型的研究现状 |
| 1.4 本文主要内容 |
| 2 非Fourier热传导温度场模型 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 模型建立 |
| 2.3 形式展开 |
| 2.4 余项估计 |
| 3 热传导系数跳跃的一维非Fourier温度场分布的奇摄动解 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 模型建立 |
| 3.3 形式展开 |
| 3.4 余项估计 |
| 4 热传导系数跳跃的三维非Fourier温度场分布的奇摄动双参数解 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 模型建立 |
| 4.3 形式展开 |
| 4.4 余项估计 |
| 5 一维热弹耦合分析 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 模型建立 |
| 5.3 形式展开 |
| 5.4 结论 |
| 6 三维热弹耦合分析 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 模型建立 |
| 6.3 形式展开 |
| 6.4 结论 |
| 7 总结与展望 |
| 7.1 总结 |
| 7.2 展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录 作者在读期间发表的学术论文与参加的科研项目 |
四、多维空间中一类带边值问题的二阶弱退化抛物方程（论文参考文献）
- [1]偏微分方程大时间步长格式的研究及基于急诊数据的危重症预测的建模与评估[D]. 王恺鹏. 中国科学技术大学, 2021(09)
- [2]非线性方程间断有限元方法的误差估计和保界格式[D]. 闫凤娜. 中国科学技术大学, 2020(01)
- [3]求解一类四阶非线性抛物方程的数值解法[D]. 秦丹丹. 吉林大学, 2020(08)
- [4]具有可变指数型源的四阶抛物方程的渐近行为[D]. 李梦桐. 大连理工大学, 2020(02)
- [5]基于优化方法重构二阶波动方程的势函数[D]. 解金鑫. 兰州交通大学, 2020(01)
- [6]几类随机偏微分方程的不确定性量化方法[D]. 程立正. 湖南师范大学, 2020(01)
- [7]带非经典抛物项的非线性发展方程的解的适定性[D]. 王宇彤. 上海交通大学, 2019(06)
- [8]一类高阶方程解的整体存在和爆破[D]. 王娇娇. 吉林大学, 2019(01)
- [9]几类偏微分方程振动性质及一维浅水波方程的Entropy-TVD格式[D]. 邹敏. 中国地质大学, 2019(05)
- [10]奇摄动热弹耦合模型分析[D]. 李文彦. 杭州电子科技大学, 2019(04)